Valor presente y Valor futuro

El interés compuesto es la fuerza más poderosa del Universo (Albert Einstein)

Si nos preguntan qué preferimos, recibir 1000€ hoy, o 2000€ dentro de 3 años, la respuesta podría ser evidente para muchos. Pero lleva implícitas una serie de consideraciones nada triviales. ¿Para qué necesito ese dinero hoy?

¿Qué puedo hacer con 1000€ hoy que no pueda hacer dentro de 3 años?

La forma más sencilla de verlo es la siguiente: ¿qué interés generaría una inversión de 1000€ hoy en día? Si resulta que cada año espero obtener una rentabilidad del 30%, al cabo de 1 año tendré 1300€, al cabo de 2 años 1690€, y al cabo de 3, 2197€. En este caso, es preferible recibir 1000€ hoy.

En cambio, si no espero obtener más que un 10%, al cabo de 3 años tendría 1331€ y sería preferible esperar 3 años y recibir 2000€.

Esto que acabamos de ver son los conceptos de valor presente y valor futuro del dinero, y son la base de todas las finanzas. Es la fórmula que se emplea para calcular el valor de cualquier activo. Y como vemos depende del número de períodos, la tasa de descuento, y la cantidad a recibir.

El valor presente de un activo reside por tanto en la suma de flujos de efectivo que es capaz de generar. Una casa, por ejemplo, tiene un valor porque puede ser alquilada por una determinada suma al año, proporcionando un rendimiento. Del mismo modo, un bono del Estado promete una determinada rentabilidad al inversor que preste el dinero. Esta rentabilidad puede cambiar en el tiempo, y el valor del activo fluctuar, en función de las variables que hemos visto: la tasa de descuento, número de periodos la cantidad esperada.

 

Expresado en fórmulas matemáticas, sería:

Valorando un negocio

Supongamos que un amigo nos pide ayuda para saber si está pagando el precio adecuado por un negocio que va a comprar. Se trata de una pastelería en modalidad de franquicia. Requeriría invertir 10000€, y calcula que puede obtener unos beneficios de 1000€ al año durante los próximos 10 años, fecha en la cual la franquicia vuelve a manos de la matriz original. Su mejor alternativa sería invertir en un plan de pensiones que le promete un retorno anual del 3%. ¿Cómo le ayudamos a calcular un precio justo para este negocio?

Puede parecer complicado de hacer el cálculo, pero con Excel o una calculadora financiera resulta muy sencillo después de haberlo hecho un par de veces. Se tendría:

Sumando todas las cantidades, tendríamos un valor negativo de 1469€. Por tanto esta no es una buena inversión y recomendaríamos a nuestro amigo que escogiera el plan de pensiones.

Ahora supongamos que el horizonte temporal son 20 años. Podríamos realizar el mismo cálculo añadiendo 10 elementos más a la suma. En Excel no resulta complicado. También se puede recurrir a la función de valor presente y valor futuro de Excel.

 

Sin embargo, para los amantes de las matemáticas, la solución más elegante sería esta: el cálculo del valor presente, para una suma de pagos constantes futuros, es una sucesión geométrica cuya fórmula general es:

Para el caso de nuestro amigo y la famosa pastelería, el valor de 1000€ durante 20 años, descontados al 3% sería:

Restando la inversión inicial de 10,000€, tendríamos que el valor a pagar por la pastelería sería, como máximo de 4877€. En este punto le sería indiferente invertir en ella o en el plan de pensiones. Por debajo, la pastelería sería mejor opción, y viceversa.

Hasta el infinito y más allá

Por último, podríamos (y necesitaremos más adelante) querer calcular el valor de un activo que nos dará una serie de pagos sin fecha de expiración. Puede sonar raro, pero es el caso de algunos bonos emitidos por los gobiernos británico y americano. Los llamados “consol” fueron emitidos ya en 1751 y pagaban un interés anual del 3.5% a perpetuidad. Posteriormente hubo otras emisiones que fueron recompradas y extinguidas por el gobierno inglés en 2014.

Más allá de la anécdota, el cálculo resulta muy sencillo. Partiendo de la fórmula anterior, y haciendo que n tienda a infinito, se tiene:

Con esta fórmula podríamos por ejemplo calcular el valor de una acción, si creyésemos que la empresa va existir para siempre, que paga un dividendo anual de 10 céntimos de euro. Si nuestra tasa de descuento es del 6% (aproximadamente el retorno histórico medio de las bolsas), entonces la acción valdría para nosotros:

En este capítulo hemos aprendido que 1€ en el futuro no es lo mismo que 1€ a día de hoy, y cómo pasar de uno a otro con la fórmula del interés compuesto.

También hemos desvelado ya el concepto clave para valorar una empresa: el valor de todo activo reside en los flujos de dinero que generará en el futuro. Ni más ni menos.

 

A continuación se propone un pequeño test para poner a prueba los conceptos aprendidos.

Cuestionario

1. En el año 2004 metimos 4000€ en un fondo. Hoy nuestro dinero vale 12300€. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anualizada de esa inversión?

2. Un fondo de inversión obtiene las siguientes rentabilidades: año 1 +14.3%, año 2 -37.2%, año 3 +8.4%, año 4 +17.7%, año 5 -3.2%. ¿Cuál es el rendimiento anualizado del fondo? ¿Y el total?

3. ¿Cuántos años necesito para duplicar mi capital si invierto con un rendimiento del 4%? ¿Y del 8%?

4. Estoy valorando un proyecto que consiste en comprar una impresora 3D, que cuesta 20,000€, para fabricar merchandising. Espero obtener unos ingresos de 500€ al mes, y el gasto de mantenimiento y material será de 200€ al año. La vida útil de la impresora es de 5 años, y mi mejor alternativa es invertir en un bono que da el 4% anual. ¿Debo invertir en el proyecto?. ¿Cuál es la tasa para la cual me sería indiferente invertir?

5. La empresa ACME lleva pagando un dividendo de 1.3€/acción durante los últimos 20 años y esperamos que lo siga haciendo en el futuro. Suponiendo que la prima de riesgo para las bolsas es del 6%, ¿cuál debería ser el precio de la acción?

6. Si se espera que la inflación media sea de 1.5% anual, ¿a cuánto equivaldrán 1000€ de hoy dentro de 10 años?

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